平面内任意向量p\boldsymbol{p}p都可以用两个不共线的向量a\boldsymbol{a}a b\boldsymbol{b}b来表示，这是平面向量的基本定理。类似的我们定义，如果三个向量不共面，那么对空间中的任一向量p\boldsymbol{p}p，存在有序实数组{x,y,z}\{x,y,z\}{x,y,z}使得p=xa+yb+zc\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c}p=xa+yb+zc，我们把向量{a,b,c}\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c}\}{a,b,c}叫做空间的一个基底（base）,a,b,c\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c}a,b,c叫做基向量(base vector)，如果基向量两两垂直，则称这组基向量为正交向量；如果三个基向量两两垂直且为单位向量，则为单位正交向量。
一、空间直角坐标系
以起点同为OOO三个单位正交向量i,j,k\boldsymbol{i},\boldsymbol{j} ,\boldsymbol{k}i,j,k所确定的三个轴依次叫做xxx轴（横轴），yyy轴（纵轴）和zzz轴（竖轴），我们把OxyzOxyzOxyz或[O;i,j,k][\boldsymbol{O};\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}][O;i,j,k]四者的组合称为直角坐标系。
由xxx和yyy轴确定的平面叫做xOyxOyxOy面，同理还有xOzxOzxOz和yOzyOzyOz，三个平面将空间划分为八个部分。如下图：
空间中任意一个向量都可以用坐标分解式表示。
向量r=OM→=OP→+PN→+NM→=OP→+OQ→+OR→=xi+yj+zk\boldsymbol{r}=\overrightarrow {OM}=\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {PN}+\overrightarrow {NM}=\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {OR}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR=xi+yj+zk，这就建立了有序实数组(坐标)(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)、空间中向量r\boldsymbol{r}r和空间中的点MMM的联系。这些事实使得向量之间的运算与代数建立起了联系（即用数学计算来解决向量之间的关系）。
二、向量的坐标运算
设a=(ax,ay,az)\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)\boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z)b=(bx,by,bz)，其对应坐标表示
a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzk\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}\quad \boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzk
2.1 向量线性运算
基底形式：
a+b=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x\pm b_x)\boldsymbol{i}+(a_y \pm b_y)\boldsymbol{j}+(a_z\pm b_z)\boldsymbol{k}a+b=(ax±bx)i+(ay±by)j+(az±bz)k
λa=λaxi+λayj+λazk\lambda \boldsymbol{a}=\lambda a_x\boldsymbol{i}+\lambda a_y\boldsymbol{j}+\lambda a_z\boldsymbol{k}λa=λaxi+λayj+λazk
坐标形式：
a+b=(ax±bx,ay±by,az±bz)\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x \pm b_x,a_y \pm b_y,a_z\pm b_z)a+b=(ax±bx,ay±by,az±bz)
λa=(λax,λay,λaz)\lambda \boldsymbol{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)λa=(λax,λay,λaz)
2.2 向量间的数量积运算
数量积又称点积。设一物体在恒力FFF作用下沿直线从点M1M_1M1移动到M2M_2M2以sss表示位移M1M2→\overrightarrow {M_1M_2}M1M2，物理学上告诉我们，力FFF作的功为：
W=∣F∣∣s∣cosθ
W=|F||s|cos\theta
W=∣F∣∣s∣cosθ
其中θ\thetaθ是FFF与sss的夹角。
抽象成数学表达：
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|a||b|cos\theta
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
由定义可知：
a⋅a=∣a∣2\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a=|a|^2a⋅a=∣a∣2向量a⊥b\boldsymbol a \bot\boldsymbol ba⊥b的充分必要条件是a⋅b=0\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=0a⋅b=0
满足以下性质：
交换律 a⋅b\boldsymbol a \cdot \boldsymbol ba⋅b=b⋅a\boldsymbol b \cdot \boldsymbol ab⋅a结合律 (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(\boldsymbol a + \boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol a \cdot \boldsymbol c+\boldsymbol b \cdot \boldsymbol c(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
PS：向量夹角范围是[0,π][0,\pi][0,π]，所以不存在a⋅b\boldsymbol a \cdot \boldsymbol ba⋅b和b⋅a\boldsymbol b \cdot \boldsymbol ab⋅a夹角不一样的情况，都是一样的θ\thetaθ。优角是大于180度的角，劣角是小于或等于180度的角，因此向量夹角范围是劣角，在谈论向量夹角的时候，应该找小于或等于180度的角。
坐标形式的数量积
a⋅b=(axbx+ayby+azbz)(1)
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)\tag{1}
a⋅b=(axbx+ayby+azbz)(1)
2.3 向量积和混合积
向量积
a×b=(aybz−azby，azbx−axbz,axby−aybx)(2)
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(a_yb_z-a_zb_y，a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)\tag{2}
a×b=(aybz−azby，azbx−axbz,axby−aybx)(2)混合积
略。
2.4 向量属性
设向量坐标为：r=(x,y,z)\boldsymbol{r}=(x,y,z)r=(x,y,z)，对应向量形式为：r=xi+yj+zk\boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}r=xi+yj+zk，
模(大小)
∣r∣=x2+y2+z2|\boldsymbol{r}|=x^2+y^2+z^2∣r∣=x2+y2+z2
设空间中的两点AAA，BBB，其坐标分别为设a=(x1,y1,z1)\boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1)a=(x1,y1,z1)，b=(x1,y2,z3)\boldsymbol{b}=(x_1,y_2,z_3)b=(x1,y2,z3)
根据三角或平行四边形法则，AB→=OB→−OA→=(x2−x1，y2−y1,z2−z1)\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}=(x_2-x_1，y_2-y_1,z_2-z_1)AB=OB−OA=(x2−x1，y2−y1,z2−z1)，其大小为∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|AB|=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
方向角和方向余弦
一个非零向量与三个坐标轴的夹角称为向量在坐标系下的方向角，对应的余弦值为方向余弦。三个方向余弦的平方和等于1。换句话说，一个向量在坐标系上有唯一的比例关系：余弦
2.5 向量间的关系
平行
当向量a≠0\boldsymbol{a} \ne\boldsymbol{0}a=0，向量a\\b\boldsymbol{a}\verb|\\|\boldsymbol{b}a\\b相当于a=λb\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}a=λb，坐标表示为：
(bx,by,bz)=λ(ax,ay,az)(3)
(b_x,b_y,b_z)=\lambda(a_x,a_y,a_z)\tag{3}
(bx,by,bz)=λ(ax,ay,az)(3)
或者：
bxax=byay=bzaz(4)
\frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}\tag{4}
axbx=ayby=azbz(4)
如果向量a\boldsymbol{a}a的坐标有一个为零，那么将分式去掉并添加对应b\boldsymbol{b}b坐标等于零约束。
- 投影（非常重要）
给定一个点OOO和一个单位向量e\boldsymbol{e}e可以确定一个延伸至无穷远的数轴u\boldsymbol uu，在这个空间上任取一个向量记为OM→=r\overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r}OM=r（平移至共起点)，过待投影的向量r\boldsymbol rr终点作一个垂直于数轴uuu的平面，相交于M′M'M′（M在数轴uuu的点投影），向量OM′→\overrightarrow{OM'}OM′叫做向量r\boldsymbol{r}r在u\boldsymbol uu轴上的分向量。
任何一个在数轴uuu上的向量都可以在用一个数λ\lambdaλ和同方向的单位向量eee表示，如下：
OM′→=λe
\overrightarrow{OM'}=\lambda{\boldsymbol{e}}
OM′=λe
这个数在数学上被称为向量r\boldsymbol rr在u\boldsymbol uu上的向量投影，记作PrjurPrj_u\boldsymbol{r}Prjur或(r)u(\boldsymbol{r})_u(r)u。
按照投影的观点，直角坐标系上的一个向量a\boldsymbol aa在直角坐标系OxyzOxyzOxyz上的坐标为（ax,bx,cxa_x,b_x,c_xax,bx,cx）就是向量a\boldsymbol aa在三个坐标轴上的投影，也就是：
ax=Prjxa，ay=Prjya，az=Prjza
a_x=Prj_x\boldsymbol a，a_y=Prj_y\boldsymbol a，a_z=Prj_z\boldsymbol a
ax=Prjxa，ay=Prjya，az=Prjza
或者你更习惯这种表示方式：
ax=(a)x，ay=(a)y，az=(a)z
a_x=(\boldsymbol a)_x，a_y=(\boldsymbol a)_y，a_z=(\boldsymbol a)_z
ax=(a)x，ay=(a)y，az=(a)z
投影有以下性质：
性质1 (a)u=∣a∣cosφ(\boldsymbol a)_u=|a|cos\varphi(a)u=∣a∣cosφ，其中φ\varphiφ是向量a\boldsymbol aa与u\boldsymbol uu轴的夹角；性质2 (a+b)u=(a)u+(b)u(\boldsymbol a+\boldsymbol b)_u=(\boldsymbol a)_u+(\boldsymbol b)_u(a+b)u=(a)u+(b)u;性质3 (λa)u=λ(a)u(\lambda \boldsymbol a)_u=\lambda (a)_u(λa)u=λ(a)u